A geometria é o ramo da matemática que estuda formas, tamanhos, posições e propriedades das figuras no espaço. Essencial para arquitetura, engenharia, design e diversas áreas do conhecimento, a geometria está presente em nosso dia a dia de forma constante. Neste guia completo, você aprenderá todas as fórmulas importantes, como calcular áreas, perímetros, volumes e muito mais.
O que você vai aprender
- Geometria plana: triângulos, quadriláteros, círculos
- Geometria espacial: cubos, esferas, cilindros, pirâmides
- Fórmulas de área, perímetro e volume
- Teorema de Pitágoras e suas aplicações
- Exercícios práticos resolvidos passo a passo
Triângulos
Tipos de Triângulos
Quanto aos Lados
- • Equilátero: 3 lados iguais
- • Isósceles: 2 lados iguais
- • Escaleno: 3 lados diferentes
Quanto aos Ângulos
- • Retângulo: 1 ângulo de 90°
- • Acutângulo: 3 ângulos < 90°
- • Obtusângulo: 1 ângulo > 90°
Propriedade
A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre 180°
Fórmulas Principais
Área do Triângulo
A = (base × altura) ÷ 2
Exemplo:
Base = 8 cm, Altura = 5 cm
A = (8 × 5) ÷ 2 = 40 ÷ 2 = 20 cm²
Perímetro do Triângulo
P = lado₁ + lado₂ + lado₃
Exemplo:
Lados: 5 cm, 7 cm, 9 cm
P = 5 + 7 + 9 = 21 cm
Teorema de Pitágoras (Triângulo Retângulo)
a² = b² + c²
(hipotenusa² = cateto₁² + cateto₂²)
Exemplo:
Catetos: 3 cm e 4 cm. Calcular a hipotenusa:
a² = 3² + 4²
a² = 9 + 16 = 25
a = √25 = 5 cm
Aplicação Prática
Problema: Um terreno triangular tem base de 15 metros e altura de 12 metros. Qual sua área?
Solução: A = (15 × 12) ÷ 2 = 180 ÷ 2 = 90 m²
Quadriláteros
Quadrado
4 lados iguais e 4 ângulos de 90°
Área:
A = lado²
Perímetro:
P = 4 × lado
Exemplo:
Lado = 6 cm
A = 6² = 36 cm²
P = 4 × 6 = 24 cm
Retângulo
Lados opostos iguais e 4 ângulos de 90°
Área:
A = base × altura
Perímetro:
P = 2(b + h)
Exemplo:
Base = 8 cm, Altura = 5 cm
A = 8 × 5 = 40 cm²
P = 2(8+5) = 26 cm
Losango
4 lados iguais, ângulos opostos iguais
Área:
A = (D × d) ÷ 2
(D = diagonal maior, d = diagonal menor)
Exemplo:
D = 10 cm, d = 6 cm
A = (10×6)÷2 = 30 cm²
Trapézio
2 lados paralelos (bases)
Área:
A = [(B+b) × h] ÷ 2
(B = base maior, b = base menor, h = altura)
Exemplo:
B=12cm, b=8cm, h=5cm
A = [(12+8)×5]÷2 = 50 cm²
Problema Prático
Situação: Você precisa comprar piso para uma sala retangular de 4m × 6m. Cada caixa de piso cobre 2m². Quantas caixas precisa comprar?
Solução:
1. Área da sala = 4 × 6 = 24 m²
2. Caixas necessárias = 24 ÷ 2 = 12 caixas
Círculo e Circunferência
Elementos do Círculo
Raio (r)
Distância do centro até a borda
Diâmetro (d)
d = 2r (dobro do raio)
Pi (π)
π ≈ 3,14 ou 3,1416
Fórmulas Principais
Área do Círculo
A = π × r²
Exemplo:
Raio = 5 cm
A = 3,14 × 5²
A = 3,14 × 25 = 78,5 cm²
Comprimento da Circunferência
C = 2 × π × r
ou C = π × d
Exemplo:
Raio = 7 cm
C = 2 × 3,14 × 7
C = 43,96 cm
Aplicação Prática
Problema: Uma pizza tem 30 cm de diâmetro. Qual sua área?
Solução:
1. Raio = 30 ÷ 2 = 15 cm
2. A = 3,14 × 15²
3. A = 3,14 × 225 = 706,5 cm²
Geometria Espacial (Sólidos)
Cubo
6 faces quadradas iguais
Volume:
V = aresta³
Área Total:
A = 6 × aresta²
Exemplo:
Aresta = 4 cm
V = 4³ = 64 cm³
A = 6 × 4² = 6 × 16 = 96 cm²
Paralelepípedo
6 faces retangulares (caixa)
Volume:
V = c × l × h
(comprimento × largura × altura)
Área Total:
A = 2(cl + ch + lh)
Exemplo:
c = 6 cm, l = 4 cm, h = 3 cm
V = 6 × 4 × 3 = 72 cm³
Cilindro
Base circular e altura
Volume:
V = π × r² × h
Área Lateral:
A = 2 × π × r × h
Exemplo:
Raio = 3 cm, Altura = 10 cm
V = 3,14 × 3² × 10
V = 3,14 × 9 × 10 = 282,6 cm³
Esfera
Forma perfeitamente redonda (bola)
Volume:
V = (4/3) × π × r³
Área:
A = 4 × π × r²
Exemplo:
Raio = 6 cm
V = (4/3) × 3,14 × 6³
V = (4/3) × 3,14 × 216 ≈ 904,32 cm³
Cone
Volume:
V = (π × r² × h) ÷ 3
Exemplo:
r = 4cm, h = 9cm
V = (3,14×16×9)÷3
V ≈ 150,72 cm³
Pirâmide
Volume:
V = (A_base × h) ÷ 3
Exemplo:
Base quadrada: 5×5cm
Altura = 12cm
V = (25×12)÷3 = 100 cm³
Problema Prático
Situação: Uma caixa d'água cilíndrica tem 1,5m de raio e 2m de altura. Quantos litros de água ela comporta?
Solução:
1. V = π × r² × h
2. V = 3,14 × 1,5² × 2
3. V = 3,14 × 2,25 × 2 = 14,13 m³
4. 1 m³ = 1000 litros
5. Capacidade = 14.130 litros
Tabela Resumo de Fórmulas
| Figura | Área/Volume | Perímetro/Área Total |
|---|---|---|
| Quadrado | A = l² | P = 4l |
| Retângulo | A = b × h | P = 2(b + h) |
| Triângulo | A = (b × h) ÷ 2 | P = a + b + c |
| Círculo | A = π × r² | C = 2πr |
| Cubo | V = a³ | A = 6a² |
| Paralelepípedo | V = c × l × h | A = 2(cl+ch+lh) |
| Cilindro | V = πr²h | A = 2πrh |
| Esfera | V = (4/3)πr³ | A = 4πr² |
| Cone | V = (πr²h) ÷ 3 | - |
Perguntas Frequentes
Qual a diferença entre área e perímetro?
Perímetro é a medida do contorno de uma figura (soma dos lados), medido em metros, centímetros, etc. Área é a medida da superfície interna da figura, medida em metros quadrados (m²), centímetros quadrados (cm²), etc.
Como usar o Teorema de Pitágoras?
O Teorema de Pitágoras (a² = b² + c²) só funciona em triângulos retângulos. A hipotenusa (lado maior) é sempre o lado oposto ao ângulo de 90°. Use quando conhecer dois lados e precisar encontrar o terceiro.
Por que π vale aproximadamente 3,14?
Pi (π) é a razão entre o comprimento de qualquer circunferência e seu diâmetro. É um número irracional (infinitas casas decimais sem padrão). Usamos 3,14 ou 3,1416 como aproximação para facilitar cálculos. Para maior precisão, use a função π da calculadora.
Como calcular volume de formas irregulares?
Para formas irregulares, divida-as em formas geométricas conhecidas, calcule o volume de cada parte e some. Outra opção é usar o método de deslocamento de água (princípio de Arquimedes) para objetos físicos.
Qual a diferença entre cubo e paralelepípedo?
O cubo tem todas as arestas iguais (é um caso especial de paralelepípedo). O paralelepípedo pode ter arestas de tamanhos diferentes. Todo cubo é um paralelepípedo, mas nem todo paralelepípedo é um cubo.
Como memorizar tantas fórmulas?
Não decore mecanicamente! Entenda a lógica por trás de cada fórmula. Pratique muito resolvendo exercícios variados. Use a tabela resumo como referência rápida. Com o tempo e prática, as fórmulas mais usadas ficarão automáticas na memória.
Pratique Geometria com Nossas Ferramentas!
Use calculadoras gratuitas para resolver problemas geométricos